Számhalmazok
$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots, n, \dots\}$
$\mathbb{Z} = \{\dots, -n, \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, n, \dots\}$
$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$, pl. $\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}$
$\mathbb{R}$, pl. $5; -3; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \sqrt{2}$
Bennfoglalás: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Hatványok & Gyökök Szabályai
$a^0 = 1 \quad | \quad a^1 = a \quad | \quad a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad | \quad (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad | \quad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad | \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \quad | \quad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Hatványok Összehasonlítása
• Ha $a > 1$ és $a^m < a^n \iff m < n$
• Ha $0 < a < 1$ és $a^m < a^n \iff m > n$
Alapfogalmak
• Általános alak: $f(x) = ax + b \quad (a \neq 0)$ (pl. $f(x) = 2x + 3$)
• A grafikonja egy egyenes.
• Ha $a > 0 \implies$ növekvő; ha $a < 0 \implies$ csökkenő.
Metszéspontok a Tengelyekkel
$O_x$ tengellyel: $y = 0 \implies f(x) = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$
$O_y$ tengellyel: $x = 0 \implies y = f(0) = b$
Előjeltáblázat
| $x$ |
$-\infty$ |
gyök $\left(-\frac{b}{a}\right)$ |
$+\infty$ |
| $f(x)$ |
$a$-val ellentétes előjel |
$0$ |
$a$ előjele |
Egyenlőtlenségek Megoldásai
$x < a \implies x \in (-\infty, a)$
$x \le a \implies x \in (-\infty, a]$
$x > a \implies x \in (a, +\infty)$
$x \ge a \implies x \in [a, +\infty)$
• Pont a grafikonon: $(x_0, y_0) \in G_f \iff f(x_0) = y_0$
Alapképletek
Grafikon: Parabola ($a > 0 \implies \cup$, $a < 0 \implies \cap$)
Csúcspont: $V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)$
Diszkrimináns: $\Delta = b^2 - 4ac$
Megoldóképlet: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Gyökök Diszkussziója
• $\Delta < 0 \implies$ Nincs valós gyök ($x_{1,2} \notin \mathbb{R}$)
• $\Delta = 0 \implies$ Valós és egyenlő gyökök ($x_1 = x_2 \in \mathbb{R}$)
• $\Delta > 0 \implies$ Valós és különböző gyökök ($x_1 \neq x_2 \in \mathbb{R}$)
Viète-féle Összefüggések
$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad | \quad P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
Tényezőkre bontás: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
Előjeltáblázat ($\Delta > 0$ esetén)
| $x$ |
$-\infty$ |
$x_1$ |
|
$x_2$ |
$+\infty$ |
| $f(x)$ |
$a$ előjele |
$0$ |
$a$-val ellentétes |
$0$ |
$a$ előjele |
Logaritmus Képletek
Feltételek: $\log_a A \implies a > 0, a \neq 1, A > 0$
$\log_a b = c \iff a^c = b \quad | \quad \log_a 1 = 0 \quad | \quad \log_a a = 1$
$\log_a A + \log_a B = \log_a(A \cdot B)$
$\log_a A - \log_a B = \log_a\left(\frac{A}{B}\right)$
$\log_a A^n = n \cdot \log_a A \quad | \quad \log_a A = \frac{\log_b A}{\log_b a}$
Számtani Haladvány (Különbség: $r$)
Általános tag: $a_n = a_1 + (n - 1)r$
Tulajdonság: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \quad | \quad \text{Középarányos: } \frac{a + b}{2}$
Összeg: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{[2a_1 + (n - 1)r]n}{2}$
Mértani Haladvány (Hányados: $q$)
Általános tag: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ ahol $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$
Tulajdonság: $b_2 = \sqrt{b_1 \cdot b_3} \quad | \quad \text{Középarányos: } \sqrt{a \cdot b}$
Összeg: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Derékszögű Háromszög Szögfüggvényei
$\sin B = \frac{\text{szemközti befogó}}{\text{átfogó}} = \frac{AC}{BC}$
$\cos B = \frac{\text{melletti befogó}}{\text{átfogó}} = \frac{AB}{BC}$
$\text{tg } B = \frac{\text{szemközti}}{\text{melletti}} = \frac{AC}{AB} \quad | \quad \text{ctg } B = \frac{\text{melletti}}{\text{szemközti}} = \frac{AB}{AC}$
Alapvető Összefüggések
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
$\sin(180^\circ - x) = \sin x \quad | \quad \cos(180^\circ - x) = -\cos x$
$\sin(90^\circ - x) = \cos x$
Nevezetes Szögek Táblázata
| $t$ szög |
$0^\circ$ |
$30^\circ$ |
$45^\circ$ |
$60^\circ$ |
$90^\circ$ |
| $\sin t$ |
$0$ |
$\frac{1}{2}$ |
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
$1$ |
| $\cos t$ |
$1$ |
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
$\frac{1}{2}$ |
$0$ |
| $\text{tg } t$ |
$0$ |
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
$1$ |
$\sqrt{3}$ |
- |
| $\text{ctg } t$ |
- |
$\sqrt{3}$ |
$1$ |
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
$0$ |
Tételek & Területképletek
Szinusztétel: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
Koszinusztétel: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
Terület: $T = \frac{a \cdot b \cdot \sin C}{2} = \frac{a \cdot c \cdot \sin B}{2} = \frac{b \cdot c \cdot \sin A}{2}$
Vektorok & Pitagorsz Tétel
Pitagorasz: $\text{átf}^2 = \text{bef}_1^2 + \text{bef}_2^2 \implies BC^2 = AB^2 + AC^2$
Vektorok: Ha $A(x,y) \implies \vec{OA} = x\vec{i} + y\vec{j}$
$\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB} \implies \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
Egyenesek az Analitikus Síkon
Két pont távolsága: $AB = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}$
Felezőpont: $M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$
Iránytényező (meredekség): $m_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \text{tg } \alpha$
Egyenes egyenlete: $y - y_A = m(x - x_A)$
Párhuzamosság: $d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2$
Merőlegesség: $d_1 \perp d_2 \iff m_1 = -\frac{1}{m_2}$
Kombinatorika & Valószínűség
Permutáció: $P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n$
Variáció: $V_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$
Kombináció: $C_n^k = \frac{n!}{(n - k)!k!} \quad (0! = 1)$
Valószínűség: $P = \frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{lehetséges esetek száma}}$
Kifejezések Határértéke
$\frac{1}{+0} = +\infty \quad | \quad \frac{1}{-0} = -\infty \quad | \quad \frac{\text{véges}}{\pm\infty} = 0 \quad | \quad \frac{1}{\infty} = 0$
$\sqrt{\infty} = \infty \quad | \quad \sqrt[3]{\infty} = \infty \quad | \quad \sqrt[3]{-\infty} = -\infty$
Határozatlan esetek: $\left[\frac{0}{0}\right], \left[\frac{\infty}{\infty}\right], [\infty - \infty], [0 \cdot \infty], [1^\infty], [0^0], [\infty^0]$
Törtfüggvények Határértéke $\pm\infty$-ben
1. Ha a számláló fokszáma kisebb $\implies \lim = 0$
2. Ha a fokszámok egyenlők $\implies$ a főegyütthatók hányadosa
3. Ha a számláló fokszáma nagyobb $\implies \pm\infty$
Aszimptoták
Vízszintes: $y = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = a \implies y = a$
Függőleges: Törtfüggvény nevezőjének zérushelyein ($x = x_0$)
Ferde ($y = mx + n$):
$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \quad | \quad n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$
Folytonosság Feltétele $x_0$-ban
$l_b(x_0) = l_j(x_0) = f(x_0)$